根据您提供的信息，以下是被公司合法开除的情形：
违反公司规章制度：
员工的行为严重违背了公司的规章制度。
严重失职：
员工未能履行其职责，给公司造成重大损害。
刑事责任：
员工的行为构成犯罪，被依法追究刑事责任。
试用期不符合条件：
在试用期内被证明不符合公司的录用条件。
双重劳动关系：
员工同时与其他用人单位建立劳动关系，严重影响完成本单位的工作任务。
其他严重错误：
如欺诈、胁迫签订合同等，导致合同无效。
合法开除应遵循以下程序：
用人单位提出解除建议，并与员工协商一致。
若员工有重大过错，用人单位可以直接开除，无需支付赔偿。
若因客观情况变化导致合同无法履行，用人单位应提前30日通知员工或支付一个月工资作为补偿。
对于未休年假等权益，应按日工资收入的300%支付补偿。
开除过程中，员工也有权申诉，用人单位必须确保规章制度的合法性、公平性和透明性。